Рабочая программаэлективного курса по математике, уровень ООО

Приложение №19
к основной образовательной программе
основного общего образования
МБОУ СОШ №74
приказ №84 от 31.08.2018г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
элективного курса по математике
уровень основного общего образования
срок освоения 3 года
1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ПРЕДМЕТУ
Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для успешного продолжения
образования на углублённом уровне
Элементы теории множеств и математической логики

 Свободно оперировать понятиями: множество, характеристики множества, элемент
множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность,
включение, равенство множеств, способы задание множества;

 задавать множества разными способами;
 проверять выполнение характеристического свойства множества;
 свободно оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания,
сложные и простые высказывания, отрицание высказываний;, истинность и ложность
утверждения и его отрицания, операции над высказываниями: и, или, не. Условные
высказывания (импликации);

 строить высказывания с использованием законов алгебры высказываний.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 строить рассуждения на основе использования правил логики;
 использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для
описания реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов
Числа

 Свободно оперировать понятиями: натуральное число, множество натуральных чисел,
целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное
число, рациональное число, множество рациональных чисел, иррациональное число, корень
степени n, действительное число, множество действительных чисел, геометрическая
интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;

 понимать и объяснять разницу между позиционной и непозиционной системами записи
чисел;

 переводить числа из одной системы записи (системы счисления) в другую;

 доказывать и использовать признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, 10, 11 суммы и
произведения чисел при выполнении вычислений и решении задач;

 выполнять округление рациональных и иррациональных чисел с заданной точностью;
 сравнивать действительные числа разными способами;
 упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби, числа,
записанные с использованием арифметического квадратного корня, корней степени больше 2;

 находить НОД и НОК чисел разными способами и использовать их при решении задач;
 выполнять вычисления и преобразования выражений, содержащих действительные
числа, в том числе корни натуральных степеней.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять и объяснять результаты сравнения результатов вычислений при решении
практических задач, в том числе приближенных вычислений, используя разные способы
сравнений;

 записывать,

сравнивать, округлять
использованием разных систем измерения;

числовые

данные

реальных

величин

 составлять и оценивать разными способами числовые выражения при решении
практических задач и задач из других учебных предметов
Тождественные преобразования

 Свободно оперировать понятиями степени с целым и дробным показателем;
 выполнять доказательство свойств степени с целыми и дробными показателями;
 оперировать понятиями «одночлен», «многочлен», «многочлен с одной переменной»,
«многочлен с несколькими переменными», коэффициенты многочлена, «стандартная запись
многочлена», степень одночлена и многочлена;

 свободно владеть приемами преобразования целых и дробно- рациональных выражений;
 выполнять разложение многочленов на множители разными способами, с
использованием комбинаций различных приёмов;

 использовать теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета, для поиска корней
квадратного трёхчлена и для решения задач, в том числе задач с параметрами на основе
квадратного трёхчлена;

 выполнять деление многочлена на многочлен с остатком;
 доказывать свойства квадратных корней и корней степени n;
 выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, корни степени n;
 свободно оперировать понятиями «тождество», «тождество на множестве»,
«тождественное преобразование»;

 выполнять различные преобразования выражений, содержащих модули.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять преобразования и действия с буквенными выражениями, числовые
коэффициенты которых записаны в стандартном виде;

 выполнять преобразования рациональных выражений при решении задач других
учебных предметов;

 выполнять проверку правдоподобия физических и химических формул на основе
сравнения размерностей и валентностей
Уравнения и неравенства

 Свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и
неравенства, уравнение, являющееся следствием другого уравнения, уравнения, равносильные
на множестве, равносильные преобразования уравнений;

 решать разные виды уравнений и неравенств и их систем, в том числе некоторые
уравнения 3 и 4 степеней, дробно-рациональные и иррациональные;

 знать теорему Виета для уравнений степени выше второй;
 понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений и
уметь их доказывать;

 владеть разными методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь выбирать
метод решения и обосновывать свой выбор;

 использовать метод интервалов для решения неравенств, в том числе дробнорациональных и включающих в себя иррациональные выражения;

 решать алгебраические уравнения и неравенства и их системы с параметрами
алгебраическим и графическим методами;

 владеть разными методами доказательства неравенств;
 решать уравнения в целых числах;
 изображать множества на плоскости, задаваемые уравнениями, неравенствами и их
системами.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 составлять и решать уравнения, неравенства, их системы при решении задач других
учебных предметов;

 выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении различных
уравнений, неравенств и их систем при решении задач других учебных предметов;

 составлять и решать уравнения и неравенства с параметрами при решении задач других
учебных предметов;

 составлять уравнение, неравенство или их систему, описывающие реальную ситуацию
или прикладную задачу, интерпретировать полученные результаты
Функции

 Свободно оперировать

понятиями: зависимость, функциональная зависимость,
зависимая и независимая переменные, функция, способы задания функции, аргумент и
значение функции, область определения и множество значения функции, нули функции,
промежутки знакопостоянства, монотонность функции, наибольшее и наименьшее значения,
чётность/нечётность функции, периодичность функции, график функции, вертикальная,
горизонтальная, наклонная асимптоты; график зависимости, не являющейся функцией,

 строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности,
функции вида:

y x, y3 x y x;

 использовать преобразования графика функции y = f(x) для построения графиков

функций y  af (kx  b)  c ;

 анализировать свойства функций и вид графика в зависимости от параметров;
 свободно
оперировать
понятиями:
последовательность,
ограниченная
последовательность, монотонно возрастающая (убывающая) последовательность, предел
последовательности,
арифметическая
прогрессия,
геометрическая
прогрессия,
характеристическое свойство арифметической (геометрической) прогрессии;

 использовать метод математической индукции для вывода формул, доказательства
равенств и неравенств, решения задач на делимость;

 исследовать последовательности, заданные рекуррентно;
 решать комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.
В повседневной жизни и при изучении других предметов: конструировать и
исследовать функции, соответствующие реальным процессам и явлениям, интерпретировать
полученные результаты в соответствии со спецификой исследуемого процесса или явления;

 использовать графики зависимостей для исследования реальных процессов и явлений;
 конструировать и исследовать функции при решении задач других учебных предметов,
интерпретировать полученные результаты в соответствии со спецификой учебного предмета
Статистика и теория вероятностей после задач

 Свободно оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных,
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах
выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;

 выбирать наиболее удобный способ представления информации, адекватный её
свойствам и целям анализа;

 вычислять числовые характеристики выборки;
 свободно оперировать понятиями: факториал числа, перестановки, сочетания и
размещения, треугольник Паскаля;

 свободно оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание,
элементарное случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного
события, операции над случайными событиями, основные комбинаторные формулы;

 знать примеры случайных величин, и вычислять их статистические характеристики;
 использовать формулы комбинаторики при решении комбинаторных задач;
 решать задачи на вычисление вероятности в том числе с использованием формул.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 представлять информацию о реальных процессах и явлениях способом, адекватным её
свойствам и цели исследования;

 анализировать и сравнивать статистические характеристики выборок, полученных в
процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления, решения задачи из других
учебных предметов;

 оценивать вероятность реальных событий и явлений в различных ситуациях
Текстовые задачи

 Решать простые и сложные задачи, а также задачи повышенной трудности и выделять их
математическую основу;

 распознавать разные виды и типы задач;
 использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач и задач
повышенной сложности для построения поисковой схемы и решения задач, выбирать
оптимальную для рассматриваемой в задаче ситуации модель текста задачи;

 различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели
решения сложных задач разные модели текста задачи;

 знать и применять три способа поиска решения задач (от требования к условию и от
условия к требованию, комбинированный);

 моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;
 выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;
 уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода,
рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

 анализировать затруднения при решении задач;
 выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые
задачи из данной, в том числе обратные;

 интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное
решение задачи;

 изменять условие задач (количественные или качественные данные), исследовать
измененное преобразованное;

 анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и
изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние).при
решение задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных
направлениях, конструировать новые ситуации на основе изменения условий задачи при
движении по реке;

 исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке,
рассматривать разные системы отсчёта;

 решать разнообразные задачи «на части»;
 решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на
нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби; объяснять
идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на
движение). выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач,
конструировать собственные задач указанных типов;

 владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации,
использовать их в новых ситуациях по отношению к изученным в процессе обучения;

 решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя
разные способы;

 решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя
блоками данных с помощью таблиц;

 решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования
изученных методов и обосновывать решение;

 решать несложные задачи по математической статистике;
 овладеть основными методами решения сюжетных

задач: арифметический,
алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по
сравнению с изученными ситуациях.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 конструировать новые для данной задачи задачные ситуации с учётом реальных
характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность
вещества; решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в
которых не требуется точный вычислительный результат;

 решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчёта;
 конструировать задачные ситуации, приближенные к реальной действительности
Геометрические фигуры

 Свободно оперировать геометрическими понятиями при решении задач и проведении
математических рассуждений;

 самостоятельно формулировать определения геометрических фигур, выдвигать гипотезы
о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их,
обобщать или конкретизировать результаты на новые классы фигур, проводить в несложных
случаях классификацию фигур по различным основаниям;

 исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и
преобразовывать информацию, представленную на чертежах;

 решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм
решения не следует явно из условия, выполнять необходимые для решения задачи
дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для
решения задач;

 формулировать и доказывать геометрические утверждения.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 составлять с использованием свойств геометрических фигур математические модели для
решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин, исследовать
полученные модели и интерпретировать результат
Отношения

 Владеть понятием отношения как метапредметным;
 Свободно оперировать понятиями: равенство фигур, равные

фигуры, равенство
треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми,
перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие фигур, подобные фигуры, подобные
треугольники;

 использовать свойства подобия и равенства фигур при решении задач.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать отношения для построения и исследования математических моделей
объектов реальной жизни
Измерения и вычисления

 Свободно оперировать понятиями длина, площадь, объём, величина угла как
величинами, использовать равновеликость и равносоставленность при решении задач на
вычисление, самостоятельно получать и использовать формулы для вычислений площадей и
объёмов фигур, свободно оперировать широким набором формул на вычисление при решении
сложных задач, в том числе и задач на вычисление в комбинациях окружности и треугольника,
окружности и четырёхугольника, а также с применением тригонометрии;

 самостоятельно формулировать гипотезы и проверять их достоверность.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 свободно оперировать формулами при решении задач в других учебных предметах и при
проведении необходимых вычислений в реальной жизни
Геометрические построения

 Оперировать понятием набора элементов, определяющих геометрическую фигуру,
 владеть набором методов построений циркулем и линейкой;
 проводить анализ и реализовывать этапы решения задач на построение.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 выполнять построения на местности;
 оценивать размеры реальных объектов окружающего мира
Преобразования

 Оперировать движениями и преобразованиями как метапредметными понятиями;
 оперировать понятием движения и преобразования подобия для обоснований, свободно
владеть приемами построения фигур с помощью движений и преобразования подобия, а также
комбинациями движений, движений и преобразований;

 использовать свойства движений и преобразований для проведения обоснования и
доказательства утверждений в геометрии и других учебных предметах;
o пользоваться свойствами движений и преобразований при решении задач.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений
Векторы и координаты на плоскости

 Свободно оперировать понятиями вектор, сумма, разность векторов, произведение
вектора на число, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости, координаты
вектора;

 Владеть векторным и координатным методом на плоскости для решения задач на
вычисление и доказательства;

 выполнять с помощью векторов и координат доказательство известных ему
геометрических фактов (свойства средних линий, теорем о замечательных точках и т.п.) и
получать новые свойства известных фигур;

 использовать уравнения фигур для решения задач и самостоятельно составлять
уравнения отдельных плоских фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

 использовать понятия векторов и координат для решения задач по физике, географии и
другим учебным предметам
История математики

 Понимать математику как строго организованную систему научных знаний, в частности
владеть представлениями об аксиоматическом построении геометрии и первичными
представлениями о неевклидовых геометриях;

 рассматривать математику в контексте истории развития цивилизации и истории
развития науки, понимать роль математики в развитии России
Методы математики

 Владеть знаниями о различных методах обоснования и опровержения математических
утверждений и самостоятельно применять их;

 владеть навыками анализа условия задачи и определения подходящих для решения задач
изученных методов или их комбинаций;
характеризовать произведения искусства с учётом математических закономерностей в
природе, использовать математические закономерности в самостоятельном творчестве.
2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
Числа
Рациональные числа
Сравнение рациональных чисел. Действия с рациональными числами. Конечные и
бесконечные десятичные дроби. Представление рационального числа в виде десятичной дроби.
Иррациональные числа
Понятие иррационального числа. Распознавание иррациональных чисел. Действия с
иррациональными числами. Свойства действий с иррациональными числами. Сравнение
иррациональных чисел. Множество действительных чисел.
Представления о расширениях числовых множеств.
Тождественные преобразования Числовые и буквенные выражения
Выражение с переменной. Значение выражения. Подстановка выражений вместо
переменных.
Законы арифметических действий. Преобразования числовых выражений, содержащих
степени с натуральным и целым показателем.
Многочлены
Одночлен, степень одночлена. Действия с одночленами. Многочлен, степень многочлена.
Значения многочлена. Действия с многочленами: сложение, вычитание, умножение, деление.
Преобразование целого выражения в многочлен.
Формулы сокращённого умножения: разность квадратов, квадрат суммы и разности.
Формулы преобразования суммы и разности кубов, куб суммы и разности. Разложение
многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка,
использование формул сокращённого умножения. Многочлены с одной переменной.
Стандартный вид многочлена с одной переменной.
Квадратный трёхчлен. Корни квадратного трёхчлена. Разложение на множители
квадратного трёхчлена. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Выделение полного
квадрата. Разложение на множители способом выделения полного квадрата.

Понятие тождества
Тождественное преобразование. Представление о тождестве на множестве.
Дробно-рациональные выражения
Алгебраическая дробь. Преобразования выражений, содержащих степени с целым
показателем. Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях.
Сокращение алгебраических дробей. Приведение алгебраических дробей к общему
знаменателю. Действия с алгебраическими дробями: сложение, умножение, деление.
Преобразование выражений, содержащих знак модуля.
Иррациональные выражения
Арифметический квадратный корень. Допустимые значения переменных в выражениях,
содержащих арифметические квадратные корни. Преобразование выражений, содержащих
квадратные корни.
Корни n-ых степеней. Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих
корни n-ых степеней. Преобразование выражений, содержащих корни n-ых степеней.
Степень с рациональным показателем. Преобразование выражений, содержащих степень с
рациональным показателем.
Уравнения Равенства
Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной.
Уравнения
Понятие уравнения и корня уравнения. Представление о равносильности уравнений и
уравнениях-следствиях.
Представление о равносильности на множестве. Равносильные преобразования уравнений.
Методы решения уравнений
Методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод.
Использование свойств функций при решении уравнений, использование теоремы Виета для
уравнений степени выше 2.
Линейное уравнение и его корни
Решение линейных уравнений. Количество корней линейного уравнения.
Линейное уравнение с параметром.
Квадратное уравнение и его корни
Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения.
Количество действительных корней квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений:
графический метод решения, использование формулы для нахождения корней, разложение на
множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Биквадратные уравнения.
Уравнения, сводимые к линейным и квадратным. Квадратное уравнение с параметром. Решение
простейших квадратных уравнений с параметрами. Решение некоторых типов уравнений 3 и 4
степени.
Дробно-рациональные уравнения
Решение дробно-рациональных уравнений.
Простейшие иррациональные уравнения

f ( x)  a , f ( x)  g ( x) и их решение.

Системы уравнений
Уравнение с двумя переменными. Решение уравнений в целых числах. Линейное
уравнение с двумя переменными. Графическая интерпретация линейного уравнения с двумя

переменными.
Представление о графической интерпретации произвольного уравнения с двумя
переменными: линии на плоскости.
Понятие системы уравнений. Решение систем уравнений. Представление о
равносильности систем уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными графический метод,
метод сложения, метод подстановки. Количество решений системы линейных уравнений.
Система линейных уравнений с параметром.
Системы нелинейных уравнений. Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод
деления, метод замены переменных. Однородные системы.
Неравенства
Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости
неравенств при заданных значениях переменных.
Неравенство с переменной. Строгие и нестрогие неравенства.
Доказательство неравенств. Неравенства о средних для двух чисел.
Понятие о решении неравенства. Множество решений неравенства. Представление о
равносильности неравенств.
Линейное неравенство и множества его решений. Решение линейных неравенств.
Линейное неравенство с параметром.
Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование
свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов. Запись решения квадратного
неравенства.
Квадратное неравенство с параметром и его решение.
Простейшие иррациональные неравенства.
Квадратное неравенство с параметром и его решение.
Обобщённый метод интервалов для решения неравенств.
Системы неравенств
Системы неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной
переменной: линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных. Изображение
решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств.
Неравенство с двумя переменными. Представление о решении линейного неравенства с
двумя переменными. Графическая интерпретация неравенства с двумя переменными.
Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными.
Функции
Понятие зависимости
Прямоугольная система координат. Формирование представлений о метапредметном
понятии «координаты». График зависимости.
Функция
Способы задания функций: аналитический, графический, табличный. График функции.
Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных процессов и решения
задач. Значение функции в точке. Свойства функций: область определения, множество
значений, нули, промежутки знакопостоянства, чётность/нечётность, возрастание и убывание,
промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значение, периодичность. Исследование
функции по еѐ графику.

Линейная функция
Свойства, график. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной
функции в зависимости от еѐ коэффициентов.
Квадратичная функция
Свойства. Парабола. Построение графика квадратичной функции. Положение графика
квадратичной функции в зависимости от еѐ коэффициентов. Использование свойств
квадратичной функции для решения задач.
Обратная пропорциональность
k
Свойства функции y  . Гипербола. Представление об асимптотах.
x
Степенная функция с показателем 3
Свойства. Кубическая парабола.
k
Функции y  a 
, y  x , y  3 x y  x .Их свойства и графики. Степенная
xb
функция с показателем больше 3
Преобразование
графиков
функций:
параллельный
перенос,
симметрия,
растяжение/сжатие, отражение.
Представление о взаимно обратных функциях.
Непрерывность функции и точки разрыва функций. Кусочно заданные функции.
Последовательности и прогрессии
Числовая
последовательность.
Примеры.
Бесконечные
последовательности.
Арифметическая прогрессия и её свойства. Геометрическая прогрессия. Суммирование первых
членов арифметической и геометрической прогрессий. Сходящаяся геометрическая прогрессия.
Сумма сходящейся геометрической прогрессии. Гармонический ряд. Расходимость
гармонического ряда.
Метод математической индукции, его применение для вывода формул, доказательства
равенств и неравенств, решения задач на делимость.
Решение текстовых задач
Задачи на все арифметические действия
Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц, схем,
чертежей, других средств представления данных при решении задачи.
Решение задач на движение, работу, покупки
Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их движении,
соотношения объёмов выполняемых работ при совместной работе.
Решение задач на нахождение части числа и числа по его части
Решение задач на проценты, доли, применение пропорций при решении задач.
Логические задачи
Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.
Основные методы решения задач
Арифметический, алгебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других
методах решения задач (геометрические и графические методы).
Статистика и теория вероятностей
Статистика
Табличное и графическое представление данных, столбчатые и круговые диаграммы,

извлечение нужной информации. Диаграммы рассеивания. Описательные статистические
показатели: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения числового
набора. Отклонение. Случайные выбросы. Меры рассеивания: размах, дисперсия и стандартное
отклонение. Свойства среднего арифметического и дисперсии. Случайная изменчивость.
Изменчивость при измерениях. Решающие правила. Закономерности в изменчивых величинах.
Случайные опыты и случайные события
Случайные опыты (эксперименты), элементарные случайные события (исходы).
Вероятности элементарных событий. События в случайных экспериментах и
благоприятствующие элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с
равновозможными элементарными событиями. Классические вероятностные опыты с
использованием монет, кубиков. Представление событий с помощью диаграмм Эйлера.
Противоположные события, объединение и пересечение событий. Правило сложения
вероятностей. Случайный выбор. Независимые события. Последовательные независимые
испытания. Представление эксперимента в виде дерева, умножение вероятностей. Испытания
до первого успеха. Условная вероятность. Формула полной вероятности.
Элементы комбинаторики и испытания Бернулли
Правило умножения, перестановки, факториал. Сочетания и число сочетаний.
Треугольник Паскаля и бином Ньютона. Опыты с большим числом равновозможных
элементарных событий. Вычисление вероятностей в опытах с применением элементов
комбинаторики. Испытания Бернулли. Успех и неудача. Вероятности событий в серии
испытаний Бернулли.
Геометрическая вероятность
Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, отрезка и дуги окружности. Случайный
выбор числа из числового отрезка.
Случайные величины
Дискретная случайная величина и распределение вероятностей. Равномерное дискретное
распределение. Геометрическое распределение вероятностей. Распределение Бернулли.
Биномиальное распределение. Независимые случайные величины. Сложение, умножение
случайных величин. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и стандартное
отклонение случайной величины; свойства дисперсии. Дисперсия числа успехов в серии
испытаний Бернулли. Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей и точность
измерения. Применение закона больших чисел в социологии, страховании, в здравоохранении,
обеспечении безопасности населения в чрезвычайных ситуациях.
Геометрия
Геометрические фигуры
Фигуры в геометрии и в окружающем мире
Геометрическая фигура. Внутренняя, внешняя области фигуры, граница. Линии и области
на плоскости. Выпуклая и невыпуклая фигуры. Плоская и неплоская фигуры.
Выделение свойств объектов. Формирование представлений о метапредметном понятии
«фигура». Точка, отрезок, прямая, луч, ломаная, плоскость, угол, биссектриса угла и её
свойства, виды углов, многоугольники, окружность и круг.
Осевая симметрия геометрических фигур. Центральная симметрия геометрических фигур.
Многоугольники
Многоугольник, его элементы и его свойства. Правильные многоугольники. Выпуклые и

невыпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника.
Треугольник. Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник, свойства и
признаки. Равносторонний треугольник. Медианы, биссектрисы, высоты треугольников.
Замечательные точки в треугольнике. Неравенство треугольника.
Четырёхугольники. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция. Свойства и
признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата. Теорема Вариньона.
Окружность, круг
Их элементы и свойства. Хорды и секущие, их свойства. Касательные и их свойства.
Центральные и вписанные углы. Вписанные и описанные окружности для треугольников.
Вписанные и описанные окружности для четырёхугольников. Вневписанные окружности.
Радикальная ось.
Фигуры в пространстве (объемные тела)
Многогранник и его элементы. Названия многогранников с разным положением и
количеством граней. Первичные представления о пирамидах, параллелепипедах, призмах,
сфере, шаре, цилиндре, конусе, их элементах и простейших свойствах.
Отношения. Равенство фигур.
Свойства и признаки равенства треугольников. Дополнительные признаки равенства
треугольников. Признаки равенства параллелограммов.
Параллельность прямых
Признаки и свойства параллельных прямых. Аксиома параллельности Евклида.
Первичные представления о неевклидовых геометриях. Теорема Фалеса.
Перпендикулярные прямые
Прямой угол. Перпендикуляр к прямой. Серединный перпендикуляр к отрезку. Свойства и
признаки перпендикулярности прямых. Наклонные, проекции, их свойства.
Подобие
Пропорциональные отрезки, подобие фигур. Подобные треугольники.
Признаки подобия треугольников. Отношение площадей подобных фигур.
Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Измерения и
вычисления
Величины
Понятие величины. Длина. Измерение длины. Единцы измерения длины.
Величина угла. Градусная мера угла. Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника.
Понятие о площади плоской фигуры и её свойствах. Измерение площадей.
Единицы измерения площади.
Представление об объёме пространственной фигуры и его свойствах.
Измерение объёма. Единицы измерения объёмов.
Измерения и вычисления
Инструменты для измерений и построений; измерение и вычисление углов, длин
(расстояний), площадей, вычисление элементов треугольников с использованием
тригонометрических
соотношений.
Площади.
Формулы
площади
треугольника,
параллелограмма и его частных видов, трапеции, формула Герона, формула площади
выпуклого четырёхугольника, формулы длины окружности и площади круга. Площадь
кругового сектора, кругового сегмента. Площадь правильного многоугольника.

Теорема Пифагора. Пифагоровы тройки. Тригонометрические соотношения в
прямоугольном треугольнике. Тригонометрические функции тупого угла.
Теорема косинусов. Теорема синусов.
Решение треугольников. Вычисление углов. Вычисление высоты, медианы и биссектрисы
треугольника. Ортотреугольник. Теорема Птолемея. Теорема Менелая. Теорема Чевы.
Расстояния
Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между фигурами.
Равновеликие и равносоставленные фигуры.
Свойства (аксиомы) длины отрезка, величины угла, площади и объѐма фигуры.
Геометрические построения
Геометрические построения для иллюстрации свойств геометрических фигур.
Инструменты для построений. Циркуль, линейка.
Простейшие построения циркулем и линейкой: построение биссектрисы угла,
перпендикуляра к прямой, угла, равного данному.
Построение треугольников по трём сторонам, двум сторонам и углу между ними, стороне
и двум прилежащим к ней углам, по другим элементам.
Деление отрезка в данном отношении.
Основные методы решения задач на построение (метод геометрических мест точек, метод
параллельного переноса, метод симметрии, метод подобия).
Этапы решения задач на построение.
Геометрические преобразования
Преобразования
Представление о межпредметном понятии «преобразование». Преобразования в
математике (в арифметике, алгебре, геометрические преобразования).
Движения
Осевая и центральная симметрии, поворот и параллельный перенос.
Комбинации движений на плоскости и их свойства.
Подобие как преобразование
Гомотетия. Геометрические преобразования как средство доказательства утверждений и
решения задач.
Векторы и координаты на плоскости
Векторы
Понятие вектора, действия над векторами, коллинеарные векторы, векторный базис,
разложение вектора по базисным векторам. Единственность разложения векторов по базису,
скалярное произведение и его свойства, использование векторов в физике.
Координаты
Основные понятия, координаты вектора, расстояние между точками.
Координаты середины отрезка. Уравнения фигур.
Применение векторов и координат для решения геометрических задач.
Аффинная система координат. Радиус-векторы точек. Центроид системы точек.
История математики
Возникновение математики как науки, этапы её развития. Основные разделы математики.
Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки.
Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины отрезков.

Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора
Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П.
Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических
уравнений степеней, больших четырѐх. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н.Х. Абель, Э. Галуа.
Появление метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык
алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных координат.
Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи.
Задача о шахматной доске. Сходимость геометрической прогрессии.
Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б. Паскаль, Я.
Бернулли, А.Н. Колмогоров.
От земледелия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес, Архимед. Платон и Аристотель.
Построение правильных многоугольников. Триссекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба.
История числа π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л Эйлер, Н.И. Лобачевский. История
пятого постулата.
Геометрия и искусство. Геометрические закономерности окружающего
мира.
Астрономия и геометрия. Что и как узнали Анаксагор, Эратосфен и
Аристарх о размерах Луны, Земли и Солнца. Расстояния от Земли до Луны и Солнца.
Измерение расстояния от Земли до Марса.
Роль российских учёных в развитии математики:Л.Эйлер.
Н.И.Лобачевский, П.Л.Чебышев, С. Ковалевская, А.Н.Колмогоров.
Математика в развитии России: Петр I, школа математических и навигацких наук,
развитие российского флота, А.Н.Крылов. Космическая программа и М.В.Келдыш.
3. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7 класс

8 класс
№
1
2
3
4
5
6
7

Тема
Задачи на движение
Задачи на работу
Задачи на проценты
Задачи на концентрацию смеси и сплава
Графические способы решения задач
Решение задач
Зачёт

Количество часов
5
6
6
6
6
4
1

Резерв
ИТОГО

1
35

9 класс
№

Наименование темы

Количество часов

Решение уравнений и их систем

Решение неравенств и их систем

Решение текстовых задач

Функция.

Решение планиметрических задач

Резерв

Итого